Maximal Rectangle -- LeetCode

原题链接: http://oj.leetcode.com/problems/maximal-rectangle/
这是一道非常综合的题目，要求在0-1矩阵中找出面积最大的全1矩阵。刚看到这道题会比较无从下手，brute force就是对于每个矩阵都看一下，总共有m(m+1)/2*n(n+1)/2个子矩阵（原理跟字符串子串类似，字符串的子串数有n(n+1)/2，只是这里是二维情形，所以是两个相乘），复杂度相当高，肯定不是面试官想要的答案，就不继续想下去了。
这道题的解法灵感来自于Largest Rectangle in Histogram这道题，假设我们把矩阵沿着某一行切下来，然后把切的行作为底面，将自底面往上的矩阵看成一个直方图（histogram）。直方图的中每个项的高度就是从底面行开始往上1的数量。根据Largest Rectangle in Histogram我们就可以求出当前行作为矩阵下边缘的一个最大矩阵。接下来如果对每一行都做一次Largest Rectangle in Histogram，从其中选出最大的矩阵，那么它就是整个矩阵中面积最大的子矩阵。
算法的基本思路已经出来了，剩下的就是一些节省时间空间的问题了。
我们如何计算某一行为底面时直方图的高度呢？ 如果重新计算，那么每次需要的计算数量就是当前行数乘以列数。然而在这里我们会发现一些动态规划的踪迹，如果我们知道上一行直方图的高度，我们只需要看新加进来的行（底面）上对应的列元素是不是0，如果是，则高度是0，否则则是上一行直方图的高度加1。利用历史信息，我们就可以在线行时间内完成对高度的更新。我们知道，Largest Rectangle in Histogram的算法复杂度是O(n)。所以完成对一行为底边的矩阵求解复杂度是O(n+n)=O(n)。接下来对每一行都做一次，那么算法总时间复杂度是O(m*n)。
空间上，我们只需要保存上一行直方图的高度O(n)，加上Largest Rectangle in Histogram中所使用的空间O(n)，所以总空间复杂度还是O(n)。代码如下：

public int maximalRectangle(char[][] matrix) {
    if(matrix==null || matrix.length==0 || matrix[0].length==0)
    {
        return 0;
    }
    int maxArea = 0;
    int[] height = new int[matrix[0].length];
    for(int i=0;i<matrix.length;i++)
    {
        for(int j=0;j<matrix[0].length;j++)
        {
            height[j] = matrix[i][j]=='0'?0:height[j]+1;
        }
        maxArea = Math.max(largestRectangleArea(height),maxArea);
    }
    return maxArea;
}
public int largestRectangleArea(int[] height) {
    if(height==null || height.length==0)
    {
        return 0;
    }
    int maxArea = 0;
    LinkedList<Integer> stack = new LinkedList<Integer>();
    for(int i=0;i<height.length;i++)
    {
        
        while(!stack.isEmpty() && height[i]<=height[stack.peek()])
        {
            int index = stack.pop();
            int curArea = stack.isEmpty()?i*height[index]:(i-stack.peek()-1)*height[index];
            maxArea = Math.max(maxArea,curArea);
        }
        stack.push(i);
    }
    while(!stack.isEmpty())
    {
        int index = stack.pop();
        int curArea = stack.isEmpty()?height.length*height[index]:(height.length-stack.peek()-1)*height[index];
        maxArea = Math.max(maxArea,curArea);            
    }
    return maxArea;
}

这道题最后的复杂度是非常令人满意的，居然在O(m*n)时间内就可以完成对最大矩阵的搜索，可以看出这已经是下界（因为每个元素总要访问一下才知道是不是1）了。难度还是比较大的，相信要在面试当场想到这种方法是很不容易的。个人很喜欢这道题，既用到了别的题目，又有动态规划的思想，复杂度还非常漂亮，又一次体现了算法的魅力哈。